Задача 57.2.2 из сборника для аттестации ДПА по математике

Последовательность задана рекуррентно:
a₁=6, a₂=20, a_n+2=6a_n+1-8a_n

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой n-го члена a_n=2ⁿ+4ⁿ

Решение
Воспользуемся методом математической индукции
a₁=2¹+4¹=6
a₂=2²+4²=4+16=20

Пусть для всех n от 1 до k верно a_k=2^k+4^k

Тогда a_k+1=6a_k-8a_k-1=6(2^k+4^k)-8(2^k-1+4^k-1)=6*2^k+6*4^k-8*2^k-1-8*4^k-1=6*2^k+6*4^k-4*2^k-2*4^k=2*2^k+4*4^k=2^k+1+4^k+1

Что и требовалось доказать