22 мая 2010 г.

Когда будет ЗНО по математике?

Независимое внешнее тестирование по математике будет проводиться 14 и 15 июня.

20 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 36 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Стереометрия.
Условие. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера площадью формула см3. Боковая грань пирамиды наклонена к плоскости её основания под углом 60o. Найдите объём пирамиды (в см3)

Решение

правильная четырёхугольная пирамида

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SLK, где L и K – середины сторон AD и BC соответственно.

сечения пирамиды

Т.к. в треугольнике SKL углы при основании равны 60 градусов, то он равносторонний. Значит H=3R, формула, где R=ON=OH – радиус сферы, Н=SH – высота пирамиды, а=KL=AB – сторона основания пирамиды.

Из уравнения
 формула
находим
 формула

Тогда
формула

Поскольку площадь сферы выражается по формуле

формула, то R=3 см и искомый объём равен 324 см3

Ответ: 324

19 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 35 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Уравнения с параметрами. Модули.


Условие. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение формула имеет ровно 4 корня. Если такого значения не существует, в ответ запишите число 100.

Решение

Построим график функции формула и рассмотрим, когда он будет иметь ровно 4 точки пересечения с прямой у=а.

график функции

Видим, что при a<0 точек пересечения не будет, при a=0 их будет две, затем – четыре, при a=5 точек пересечения будет 6, и при некотором значении a их снова станет четыре. Найти это значение легко, если вспомнить, что данный график был получен из параболы формула отражением от оси ОY и сгибанием через ось ОХ. И координата формула вершины параболы перейдёт именно в искомое значение параметра а.

формула

формула

Значит формула

Ответ: 6,25

18 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 34 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Планиметрия.
Условие. Точки K и L – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD (см. рис.). Найдите площадь пятиугольника KBCDL (в см2), если площадь параллелограмма ABCD равна 24 см2 параллелограмм

Решение

Площадь треугольника ABD равна половине площади параллелограмма ABCD и составит 12 см2. Т.к. KL – средняя линия треугольника ABD, то площадь треугольника AKL в четыре раза меньше, чем площадь ABD  и составит 3 см2. Следовательно, площадь пятиугольника KBCDL равна 24-3=21 (см2)

Ответ: 21,

17 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 33 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Уравнения: тригонометрические, рациональные, иррациональные.
Условие. Решите уравнение формула. В ответ запишите количество его корней. Если корней бесконечное множество, запишите число 100.

Решение

Найдём ОДЗ:

27+6x-x2>0

(x-9)(3-x)>0

-3<9
Теперь, учитывая ОДЗ, приравняем к нулю числитель:

2cosx+1=0

2cos x=-1

формула

формула

На промежуток (-3;9) таких корней попадает четыре:



Ответ: 4,

16 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 32 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Чётные и нечётные функции.
Условие. Функцию y=x4+2x-3, определённую на множестве всех действительных чисел, представьте в виде y=f(x)+g(x), где f(x) – чётная функция, а g(x) – нечётная функция. В ответ запишите значение выражения f(-1)-4g(3).

Решение

Достаточно вспомнить, что степенная функция с чётным показателем степени будет чётной, а с нечётным – нечётной. Так что чётной будет функция f(x)=x4-3, а нечётной – функция g(x)=2x.

Тогда f(-1)-4g(3)=1-3-24=-26

Ответ: -26.

14 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 30 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Текстовые задачи. Проценты.
Условие. 4 кг огурцов и 5 кг помидоров стоили 44 гривны. После того, как огурцы подорожали на 50%, а помидоры подешевели на 40%, за 4 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 39 гривен. Найдите начальную стоимость x одного килограмма огурцов и начальную стоимость y одного килограмма помидоров. В ответ запишите сумму x+y (в грн)

Решение

Составим и решим систему уравнений:

4x+5y=44
4*1,5x+5*0,6y=39

4x+5y=44
6x+3y=39

Умножим первое уравнение на 3, второе – на -2 и сложим их.
9y=54
Получаем:

y=6

x=3,5

x+y=9,5
Ответ: 9,5

13 мая 2010 г.

Решение и ответ к задаче 29 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Производная функции.
Условие. Найдите значение производной функции формула в точке формула
Решение

формула.

формула.
Ответ: формула.

12 мая 2010 г.

Решение задачи 28 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Стереометрия. Сечения.
Условие: На рисунках (1-4) изображён куб и три точки, размещённые или в его вершинах, или на серединах его рёбер. Установите соответствие между каждым рисунком (1-4) и наименование фигуры (А-Д), получающейся в сечении.
сечение куба плоскостью, решение задачи тестирования
А. треугольник

Б. прямоугольник

В. трапеция

Г. пятиугольник

Д. ромб
Решение

Приведём построение сечения для каждого из случав:

сечение куба плоскостью, решение задачи тестирования

Отрезок сечения в верхней грани будет параллелен диагонали верхней грани, следовательно, и нижней. Значит, плоскость сечения параллельна диагонали нижней грани. При этом одна точка диагонали нижней грани принадлежит сечению. Следовательно, плоскости сечения будет принадлежать вся диагональ нижней грани. В сечении получится трапеция (В)
сечение куба плоскостью, решение задачи независимого тестирования

Самый простой случай – т.к. в каждой грани по две точки, достаточно их соединить и получить теругольник (А)

сечение куба плоскостью, решение задачи внешнего оценивания

Точки нижней грани куба, принадлежащие сечению, находим, продлевая рёбра куба и известные прямые, лежащие в сечении. Т.к. данные нам точки лежат на серединах сторон, то прямая, по которой пересекаются плоскости сечения и нижней грани, пройдёт через вершину куба. Таким образом мы получим четырёхугольник с равными сторонами. Это будет ромб, а не квадрат, т.к. одна его диагональ будет равна диагонали куба, а другая –диагонали грани куба. (Д)
сечение куба плоскостью, решение задачи пробного ЗНО

По свойству параллельных плоскостей находим обе прямые, по которым плоскость сечения пересекает вертикальные грани куба, и затем находим прямую, лежащую в верхней грани куба. В сечении – прямоугольник (Б)
Ответы:

1. (В)

2. (А)

3. (Д)

4. (Б)

6 мая 2010 г.

Решение задачи 27 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Область значений функции.
Условие: Установите соответствие между функциями (1-4) и их множествами значений (А-Д)

1. y=log_2x
2. y=2x
3. формула
4.y=2-x2

А. формула
Б. формула
В. формула
Г. формула
Д. формула

Решение

1. логарифм может принимать любое значение, следовательно, Д. формула

2. функция y=2x может принимать только положительные значения: Г. формула

3. Корень принимает неотрицательные значения. Умножение на положительный множитель этого не меняет: Б. формула

4. x2 принимает значения из формула, -x2 – из формула, а 2-x2 – из множества В. формула

Ответы:
1. (Д)
2. (Г)
3. (Б)
4. (В)

5 мая 2010 г.

Решение задачи 26 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Формулы сокращённого умножения. 

Условие: Установите соответствие между числовыми выражениями (1-4) и их значениями (А-Д)

1. 20032-19972
2. 1862-186*132+662
3. 982+98*104+522
4. 473-472*51+172*141-173

А. 64000
Б. 27000
В. 24000
Г. 22500
Д. 14400

Решение
1. Раскладываем как разность квадратов:
20032-19972=(2003-1997)(2003+1997)=6*4000=24000 (В)

2. Это квадрат разности:
1862-186*132+662=1862-2*66*186+662=(186-66)2=1202=14400 (Д)

3. Это квадрат суммы
982+98*104+522=982+2*98*52+522=(98+52)2=1502=22500 (Г)

4. Это выражение представляет собой куб разности
473-472*51+172*141-173=473-3*472*+3*47*172-173=(47-17)3=303=27000 (Б)

Ответы:
1. (В)
2. (Д)
3. (Г)
4. (Б)