29 апреля 2010 г.

Задача 32.4.2 из сборника для ДПА по математике

Для лотереи подготовили 1000 билетов, 15 из которых являются выигрышными. Какая вероятность того, что из трёх наугад выбранных билетов все окажутся выигрышными?


Решение


Вероятность того, что первый билет окажется выигрышным равна вероятность. Того, что выигрышным окажется следующий билет равна вероятность. И для третьего билета - вероятность.
Общая вероятность составит вероятность

28 апреля 2010 г.

Задача 70.4.2 из сборника для аттестации (ДПА) по математике

В шахматной секции занимаются 30 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно составить команду из 7 учеников так, чтобы в неё вошли 5 мальчиков и 2 девочки?

Решение
Выбрать 5 мальчиков из 30 можно Количество комбинаций способами.

Выбрать 2 девочек из 10 можно Количество комбинаций способами.

Всего способов: Количество комбинаций

27 апреля 2010 г.

Задача 15.4.2 из сборника для ДПА по математике

Известно, что число n не кратно трём. Докажите, что n2+8 кратно трём.

Решение

Число n может иметь вид:
n=3k+1
или
n=3k-1

Квадрат его будет равняться:
n=9k2+6k+1
или
n=9k2-6k+1

n2+8 будет равно:
n=9k2+6k+9 =3(3k2+2k+3)
или
n=9k2-6k+9 =3(3k2-2k+3)
и в любом случае будет делиться на 3

26 апреля 2010 г.

Задача 57.2.2 из сборника для аттестации ДПА по математике

Последовательность задана рекуррентно:
a1=6, a2=20, an+2=6an+1-8an

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой n-го члена an=2n+4n

Решение
Воспользуемся методом математической индукции
a1=21+41=6
a2=22+42=4+16=20

Пусть для всех n от 1 до k верно ak=2k+4k

Тогда ak+1=6ak-8ak-1=6(2k+4k)-8(2k-1+4k-1)=6*2k+6*4k-8*2k-1-8*4k-1=6*2k+6*4k-4*2k-2*4k=2*2k+4*4k=2k+1+4k+1

Что и требовалось доказать

25 апреля 2010 г.

Решение задачи 25 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Геометрия.
Условие. Прямые, содержащие стороны правильного пятиугольника ABCDEF пересекаются в точках K, L, M, N, P. Найдите градусную меру угла AKB.




Варианты ответа:
А Б В Г Д
18o 26o 30o 36o 60o


Решение

Угол правильного пятиугольника равен формула.
Тогда углы KBA и КАВ равны по 180o-108o=72o. Значит угол АКВ равен 180o-2*72o=36o.

Ответ: В 36o

24 апреля 2010 г.

Решение задачи 24 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Комбинаторика.
Условие. В киоске есть 10 видов поздравительных открыток с Новым годом. Сколько можно составить разных наборов открыток, каждый из которых состоит из трёх открыток разных видов?


Варианты ответа:
А Б В Г Д
30 90 120 240 720


Решение

Поскольку порядок открыток в наборе неважен, то нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 3.

формула


Ответ: В 120

23 апреля 2010 г.

Решение задачи 23 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Стереометрия.
Условие. Объём цилиндра равен 48 см3. Найдите объём конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.

Варианты ответа:
А Б В Г Д
6 см3 8 см3 16 см3 24 см3 36 см3


Решение

Сравним формулы объёма цилиндра

формула

И конуса

формула
Видно, что конус того же основания и высоты, что и цилиндр, имеет втрое меньший объём. А т.к. в задаче рассматривается конус с высотой, вдвое меньшей высотой цилиндра, то его объём будет в 6 раз меньше объёма цилиндра и составит 8 см3.

Ответ: Б 8 см3

22 апреля 2010 г.

Решение задачи 22 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Логарифмические неравенства.
Условие. Решите неравенство формула

Варианты ответа:
А Б В Г Д
формула формула формула формула формула


Решение

ОДЗ: x>0

Т.к. основание логарифма меньше единицы, то при потенцировании знак меняется на противоположный:
формула

формула

формула

Учитывая ОДЗ, получим

формула

Ответ: В формула

21 апреля 2010 г.

Решение задачи 21 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Стереометрия.
Условие. Какие из приведённых утверджений верны?

I Если окружность имеет две общие точки с плоскостью, то она лежит в этой плоскости.

II Если три вершины параллелограмма принадлежат плоскости, то все точки параллелограмма принадлежат этой плоскости.

III Если круг и плоскость имеют три общие точки, то все точки круга принадлежат этой плоскости.

Варианты ответа:
А Б В Г Д
только II только III только I и II только I и III только II и III


Решение

I утверждение неверно, оно легко опровергается, если представить окружность, находящуюся в плоскости, пересекающей данную.

II утверждение верно, поскольку и сам параллелограмм, и три его вершины, задают единственную плоскость.

III утверждение ложно, т.к. эти три точки круга могут лежать на одной прямой и сам круг может находиться в плоскости, пересекающей данную.

Итак, верно только утверждение II.

Ответ: А только II

20 апреля 2010 г.

Решение задачи 20 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Площадь криволинейной фигуры.

Условие. Найдите площадь закрашенной фигуры на рисунке.



Варианты ответа:
А Б В Г Д
формула формула 1 формула формула


Решение
Искомая площадь будет найдена как интеграл:

формула

Ответ: Д формула

19 апреля 2010 г.

Решение задачи 19 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Геометрия.
Условие. Точки А и В принадлежат окружности радиусом 10 см и делят её на две дуги, длины которых относятся как 3:2. Найдите длину большей дуги окружности.

Варианты ответа:
А Б В Г Д
формула см формула см формула см формула см формула см


Решение
Длина окружности радиусом 10 см составит формула см. Т.к. окружность делится в отношении 3:2, то длины дуг составят формула см и формула см

Ответ: Б 18 г. формула см

18 апреля 2010 г.

Решение задачи 18 пробного тестирования по математике 2010

Тема: Теория вероятности.
Условие. На полке стоят 16 книг, из них 6 – исторические романы, а остальные – детективы. Найдите вероятность того, что первая книга, наугад взятая с полки, окажется детективом.

Варианты ответа:
А Б В Г Д
Решение

Детективов 16-6=10. Всего книг 16, значит, вероятность вытащить детектив равна

Ответ: А .

17 апреля 2010 г.

Решение задачи 17 пробного тестирования по математике 2010

Тема: Степень с рациональным показателем.
Условие. Представьте выражение в виде степени с основанием а.

Варианты ответа:
А Б В Г Д
Решение



Ответ: Д