Для лотереи подготовили 1000 билетов, 15 из которых являются выигрышными. Какая вероятность того, что из трёх наугад выбранных билетов все окажутся выигрышными?
Решение
Вероятность того, что первый билет окажется выигрышным равна . Того, что выигрышным окажется следующий билет равна . И для третьего билета - .
Общая вероятность составит
Подготовка к оцениванию, ЗНО, аттестации, ДПА, разбираем решения и ответы на задачи по математике
29 апреля 2010 г.
28 апреля 2010 г.
Задача 70.4.2 из сборника для аттестации (ДПА) по математике
В шахматной секции занимаются 30 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно составить команду из 7 учеников так, чтобы в неё вошли 5 мальчиков и 2 девочки?
Решение
Выбрать 5 мальчиков из 30 можно способами.
Выбрать 2 девочек из 10 можно способами.
Всего способов:
Решение
Выбрать 5 мальчиков из 30 можно способами.
Выбрать 2 девочек из 10 можно способами.
Всего способов:
Labels:
ДПА,
комбинаторика
27 апреля 2010 г.
Задача 15.4.2 из сборника для ДПА по математике
Известно, что число n не кратно трём. Докажите, что n2+8 кратно трём.
Решение
Число n может иметь вид:
n=3k+1
или
n=3k-1
Квадрат его будет равняться:
n=9k2+6k+1
Решение
Число n может иметь вид:
n=3k+1
или
n=3k-1
Квадрат его будет равняться:
n=9k2+6k+1
или
n=9k2-6k+1
n2+8 будет равно:
n=9k2+6k+9 =3(3k2+2k+3)
или
n=9k2-6k+9 =3(3k2-2k+3)
и в любом случае будет делиться на 3
26 апреля 2010 г.
Задача 57.2.2 из сборника для аттестации ДПА по математике
Последовательность задана рекуррентно:
a1=6, a2=20, an+2=6an+1-8an
Докажите, что эту последовательность можно задать формулой n-го члена an=2n+4n
Решение
Воспользуемся методом математической индукции
a1=21+41=6
a2=22+42=4+16=20
Пусть для всех n от 1 до k верно ak=2k+4k
Тогда ak+1=6ak-8ak-1=6(2k+4k)-8(2k-1+4k-1)=6*2k+6*4k-8*2k-1-8*4k-1=6*2k+6*4k-4*2k-2*4k=2*2k+4*4k=2k+1+4k+1
Что и требовалось доказать
a1=6, a2=20, an+2=6an+1-8an
Докажите, что эту последовательность можно задать формулой n-го члена an=2n+4n
Решение
Воспользуемся методом математической индукции
a1=21+41=6
a2=22+42=4+16=20
Пусть для всех n от 1 до k верно ak=2k+4k
Тогда ak+1=6ak-8ak-1=6(2k+4k)-8(2k-1+4k-1)=6*2k+6*4k-8*2k-1-8*4k-1=6*2k+6*4k-4*2k-2*4k=2*2k+4*4k=2k+1+4k+1
Что и требовалось доказать
25 апреля 2010 г.
Решение задачи 25 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Геометрия.
Условие. Прямые, содержащие стороны правильного пятиугольника ABCDEF пересекаются в точках K, L, M, N, P. Найдите градусную меру угла AKB.
Варианты ответа:
Решение
Угол правильного пятиугольника равен .
Тогда углы KBA и КАВ равны по 180o-108o=72o. Значит угол АКВ равен 180o-2*72o=36o.
Ответ: В 36o
Условие. Прямые, содержащие стороны правильного пятиугольника ABCDEF пересекаются в точках K, L, M, N, P. Найдите градусную меру угла AKB.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
18o | 26o | 30o | 36o | 60o |
Решение
Угол правильного пятиугольника равен .
Тогда углы KBA и КАВ равны по 180o-108o=72o. Значит угол АКВ равен 180o-2*72o=36o.
Ответ: В 36o
24 апреля 2010 г.
Решение задачи 24 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Комбинаторика.
Условие. В киоске есть 10 видов поздравительных открыток с Новым годом. Сколько можно составить разных наборов открыток, каждый из которых состоит из трёх открыток разных видов?
Варианты ответа:
Решение
Поскольку порядок открыток в наборе неважен, то нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 3.
Ответ: В 120
Условие. В киоске есть 10 видов поздравительных открыток с Новым годом. Сколько можно составить разных наборов открыток, каждый из которых состоит из трёх открыток разных видов?
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
30 | 90 | 120 | 240 | 720 |
Решение
Поскольку порядок открыток в наборе неважен, то нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 3.
Ответ: В 120
Labels:
ЗНО,
комбинаторика
23 апреля 2010 г.
Решение задачи 23 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Стереометрия.
Условие. Объём цилиндра равен 48 см3. Найдите объём конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.
Варианты ответа:
Решение
Сравним формулы объёма цилиндра
И конуса
Видно, что конус того же основания и высоты, что и цилиндр, имеет втрое меньший объём. А т.к. в задаче рассматривается конус с высотой, вдвое меньшей высотой цилиндра, то его объём будет в 6 раз меньше объёма цилиндра и составит 8 см3.
Ответ: Б 8 см3
Условие. Объём цилиндра равен 48 см3. Найдите объём конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
6 см3 | 8 см3 | 16 см3 | 24 см3 | 36 см3 |
Решение
Сравним формулы объёма цилиндра
И конуса
Видно, что конус того же основания и высоты, что и цилиндр, имеет втрое меньший объём. А т.к. в задаче рассматривается конус с высотой, вдвое меньшей высотой цилиндра, то его объём будет в 6 раз меньше объёма цилиндра и составит 8 см3.
Ответ: Б 8 см3
Labels:
ЗНО,
конус,
объём,
Стереометрия,
цилиндр
22 апреля 2010 г.
Решение задачи 22 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Логарифмические неравенства.
Условие. Решите неравенство
Варианты ответа:
Решение
ОДЗ: x>0
Т.к. основание логарифма меньше единицы, то при потенцировании знак меняется на противоположный:
Учитывая ОДЗ, получим
Ответ: В
Условие. Решите неравенство
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
Решение
ОДЗ: x>0
Т.к. основание логарифма меньше единицы, то при потенцировании знак меняется на противоположный:
Учитывая ОДЗ, получим
Ответ: В
Labels:
ЗНО,
логарифм,
неравенство
21 апреля 2010 г.
Решение задачи 21 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Стереометрия.
Условие. Какие из приведённых утверджений верны?
I Если окружность имеет две общие точки с плоскостью, то она лежит в этой плоскости.
II Если три вершины параллелограмма принадлежат плоскости, то все точки параллелограмма принадлежат этой плоскости.
III Если круг и плоскость имеют три общие точки, то все точки круга принадлежат этой плоскости.
Варианты ответа:
Решение
I утверждение неверно, оно легко опровергается, если представить окружность, находящуюся в плоскости, пересекающей данную.
II утверждение верно, поскольку и сам параллелограмм, и три его вершины, задают единственную плоскость.
III утверждение ложно, т.к. эти три точки круга могут лежать на одной прямой и сам круг может находиться в плоскости, пересекающей данную.
Итак, верно только утверждение II.
Ответ: А только II
Условие. Какие из приведённых утверджений верны?
I Если окружность имеет две общие точки с плоскостью, то она лежит в этой плоскости.
II Если три вершины параллелограмма принадлежат плоскости, то все точки параллелограмма принадлежат этой плоскости.
III Если круг и плоскость имеют три общие точки, то все точки круга принадлежат этой плоскости.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
только II | только III | только I и II | только I и III | только II и III |
Решение
I утверждение неверно, оно легко опровергается, если представить окружность, находящуюся в плоскости, пересекающей данную.
II утверждение верно, поскольку и сам параллелограмм, и три его вершины, задают единственную плоскость.
III утверждение ложно, т.к. эти три точки круга могут лежать на одной прямой и сам круг может находиться в плоскости, пересекающей данную.
Итак, верно только утверждение II.
Ответ: А только II
Labels:
Стереометрия,
утверждения
20 апреля 2010 г.
Решение задачи 20 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Площадь криволинейной фигуры.
Условие. Найдите площадь закрашенной фигуры на рисунке.
Варианты ответа:
Решение
Искомая площадь будет найдена как интеграл:
Ответ: Д
Условие. Найдите площадь закрашенной фигуры на рисунке.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
1 |
Решение
Искомая площадь будет найдена как интеграл:
Ответ: Д
Labels:
ЗНО,
интеграл,
площадь,
тригонометрия
19 апреля 2010 г.
Решение задачи 19 пробного ЗНО по математике 2010
Тема: Геометрия.
Условие. Точки А и В принадлежат окружности радиусом 10 см и делят её на две дуги, длины которых относятся как 3:2. Найдите длину большей дуги окружности.
Варианты ответа:
Решение
Длина окружности радиусом 10 см составит см. Т.к. окружность делится в отношении 3:2, то длины дуг составят см и см
Ответ: Б 18 г. см
Условие. Точки А и В принадлежат окружности радиусом 10 см и делят её на две дуги, длины которых относятся как 3:2. Найдите длину большей дуги окружности.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
см | см | см | см | см |
Решение
Длина окружности радиусом 10 см составит см. Т.к. окружность делится в отношении 3:2, то длины дуг составят см и см
Ответ: Б 18 г. см
Labels:
геометрия,
ЗНО,
Окружность,
отношения,
пробное
18 апреля 2010 г.
Решение задачи 18 пробного тестирования по математике 2010
Тема: Теория вероятности.
Условие. На полке стоят 16 книг, из них 6 – исторические романы, а остальные – детективы. Найдите вероятность того, что первая книга, наугад взятая с полки, окажется детективом.
Варианты ответа:
Решение
Детективов 16-6=10. Всего книг 16, значит, вероятность вытащить детектив равна
Ответ: А .
Условие. На полке стоят 16 книг, из них 6 – исторические романы, а остальные – детективы. Найдите вероятность того, что первая книга, наугад взятая с полки, окажется детективом.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
Детективов 16-6=10. Всего книг 16, значит, вероятность вытащить детектив равна
Ответ: А .
Labels:
вероятность,
ЗНО
17 апреля 2010 г.
Решение задачи 17 пробного тестирования по математике 2010
Тема: Степень с рациональным показателем.
Условие. Представьте выражение в виде степени с основанием а.
Варианты ответа:
Решение
Ответ: Д
Условие. Представьте выражение в виде степени с основанием а.
Варианты ответа:
А | Б | В | Г | Д |
Ответ: Д
Подписаться на:
Сообщения (Atom)