1 января 2011 г.

С Новым Годом!!!

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым Годом!


2010 год для развития проекта «Приглашение в мир математики» оказался очень продуктивным. Общение с вами перешло из переписки по электронной почте в блоги. Там вы почти каждый день можете увидеть новый интересный математический факт, новую задачу и её решение.


В этом году вы начали участвовать в наших математических конкурсах. Прошли три интернет-олимпиады и запущена четвёртая. Кроме того, проводились математические маневры – первый в истории конкурс, в котором сочетаются принципы пошаговой стратегии и олимпиады по математике.


На 2011 год планы не менее смелые. Во-первых, мы будем продолжать готовиться к олимпиаде Кенгуру-2011 и к внешнему оцениванию по математике ЗНО-2011. Кроме того, скоро появятся новые логические флеш-игры. И, разумеется, будут продолжаться математические конкурсы и публикация интересного из мира математики.


Желаем вам в новом году счастья, здоровья и чтобы все задачи решались красиво и легко!

10 декабря 2010 г.

Открыт блог по подготовке к ЗНО-2011 по математике

Блог по подготовке к Внешнему независимому тестированию 2011 года по математике находится по адресу: http://zno2011.blogspot.com/

15 июня 2010 г.

ЗНО по математике: Afterparty

Итак, всё закончилось. Остаётся дожидаться результатов и делиться впечатлениями :)

Начнём с уравнения:


Здесь идея такая же, что и во вчерашней системе. Правая часть равна нулю, а оба слагаемых левой части всегда неотрицательны. Следовательно, равенство достигается только в случае одновременного равенства нулю подкоренного выражения и подмодульного.

Под корнем будет 0 при x=2 или x=-3,5. Но в первом случае вторым слагаемым будет |0-1|=1, а во втором |1-1|=0. Так что здесь единственный корень х=-3,5

Скоро начинается вторая сессия. Удачи вам!!!

14 июня 2010 г.

Разбор задач первого дня ЗНО: модули

Тема: уравнения с модулями
Условие
Решите уравнение ||2x-1|-3|=5.

Решение
Раскрываем внешний модуль, уравнение превращается в совокупность:
|2x–1|–3=5
или
|2x–1|–3=–5

Сразу заметим, что второе уравнение совокупности не имеет смысла, т.к. левая часть не может быть меньше –3, а правая часть равна –5.

Преобразуем первое уравнение:
|2x–1|=8

Опять оно превращается в совокупность:
2x–1=8
или
2x–1=–8

Откуда
x=4,5 или x=-3,5

Проверка показывает, что оба этих корня действительно удовлетворяют уравнению.

Ответ: x=4,5 или x=-3,5.
В задании ЗНО требовалось записать произведение корней, так что в поле ответа нужно записать -15,75

Разбор задач первого дня ЗНО: площадь полумесяца

Тема: планиметрия


Условие
Две окружности касаются (см.рис.), при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Найдите площадь затемнённой фигуры, если площадь меньшей окружности равна 64 см2


Решение
Т.к. меньшая окружность проходит через центр большей, то радиус большей окружности вдвое больше радиуса меньшей. Значит площадь большей вчетверо больше площади меньшей.

Выходит, что площадь затемнённой фигуры равна 4*64-64=3*64=192 (см2)

Ответ: 192 см2

Разбор задач первого дня ЗНО: система

Тема: тригонометрия, квадратный трёхчлен
Условие
Решите систему уравнений


Решение
Рассмотрим первое уравнение системы.
Т.к. косинус может принимать значения из промежутка [-1;1], то левая часть может изменяться в пределах [-5; 5]

С другой стороны, справа стоит квадратный трёхчлен. Его наименьшее значение достигается в
  формула ЗНО
и будет равно 16-32+21=5.

Значит, т.к. значение левой части не превосходит 5, а значение правой части не может быть меньше 5, то равенство достигается при
  формула ЗНО,
откуда x=4.

Подставив его во второе уравнение, получим y=4-5x=-16

Ответ: x=4; y=-16