27 апреля 2010 г.

Задача 15.4.2 из сборника для ДПА по математике

Известно, что число n не кратно трём. Докажите, что n2+8 кратно трём.

Решение

Число n может иметь вид:
n=3k+1
или
n=3k-1

Квадрат его будет равняться:
n=9k2+6k+1
или
n=9k2-6k+1

n2+8 будет равно:
n=9k2+6k+9 =3(3k2+2k+3)
или
n=9k2-6k+9 =3(3k2-2k+3)
и в любом случае будет делиться на 3
Labels: ,

4 комментария:

  1. Анонимный13 мая 2010 г. в 12:02

    Ещё n может иметь вид n=3k+2 и n=3k-2, которые так же не делятся на 3.
    Почему этот вариант не рассмотрен?
    n^2+8 не кратно 3, при n=3k+2 и n=3k-2

    ОтветитьУдалить
  2. Alexey Izvalov13 мая 2010 г. в 13:57

    Дело в том, что
    3k-1=3(k-1)+3-1=3(k-1)+2

    Т.е. остаток -1 при делении на 3 - это всё равно, что остаток 2

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный7 июня 2010 г. в 17:14

    нет здесь способ подстановки: например n=2 или 4 ,или 5 ,или 7...
    4+8=12 и оно : на 3 =4
    16+8=24 :3 =8
    25+8=33 :3 =11
    49+8=57 :3 =19

    ОтветитьУдалить
  4. Alexey Izvalov7 июня 2010 г. в 19:14

    Нет, если надо что-то доказать, конкретные примеры не проходят.
    Есть известный анекдот: докажите, что все нечётные числа простые. Пробуем: 5 - простое, 7 - простое, 13 - простое, 17 - простое, получается, все простые :)

    ОтветитьУдалить

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)