Задача 4.4.1 из сборника для ДПА по математике

При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x²-ax+4a = 0 равна 9?

Решение

По теореме Виета, сумма корней уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободном члену.

x₁+x₂ = a
x₁x₂ = 4a

Возводя первое выражение в квадрат, получим:
(x₁+x₂)² = a²
x₁²+2x₁x₂+x₂² = a²
x₁²+8a+x₂² = a²
x₁²+x₂² = a²-8a

Значит, сумма квадратов корней уравнения равна a²-8a. Решим уравнение
a²-8a = 9
a²-8a-9 = 0
a₁ = 9, a₂ = -1.

Если рассматривать и действительные и комплексные корни уравнения, на этом можно было бы остановиться, но нам нужно ещё проверить, будут ли действительные корни у уравнения x²-ax+4a = 0 при таких значениях а.

При a₁ = 9:
x²-9x+36 = 0
D=81-144 < 0 - действительных корней нет

При a₂ = -1:
x²+x-4 = 0
D=1+16 > 0, корни есть

Ответ:
a=-1