Задача 35 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Логарифмические уравнения, модули.


Условие Решите уравнение |3lg x +1| – |lg x – 3| = 2. Если у уравнения один корень, запишите его в ответ, а если их больше – запишите СУММУ всех корней.
Решение

ОДЗ: x > 0. Введём замену lg x = y.

|3y+1|–|y–3| = 2

Рассмотрим промежутки: , ,

а) :

|3y+1|=–3y–1

|y–3| = 3–y
Уравнение принимает вид:

–1-3y+y–3 = 2

2y=–6

y=–3

Тогда x=0,001

б) :

|3y+1|=3y+1

|y–3| = 3–y
Уравнение принимает вид:

3y+1+y–3 = 2

4y=4

y=4

Тогда x=10

в) :

|3y+1|=3y+1

|y–3| = y–3
Уравнение принимает вид:

3y+1–y+3 = 2

2y=–2

y=–1
Но это значение не входит в рассматриваемый промежуток.

Таким образом, корнями уравнения являются числа 10 и 0,001. Их сумма равна 10,001
Ответ: 10,001