Решение и ответ к задаче 36 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Стереометрия.
Условие. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера площадью см³. Боковая грань пирамиды наклонена к плоскости её основания под углом 60^o. Найдите объём пирамиды (в см³)

Решение



Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SLK, где L и K – середины сторон AD и BC соответственно.



Т.к. в треугольнике SKL углы при основании равны 60 градусов, то он равносторонний. Значит H=3R, , где R=ON=OH – радиус сферы, Н=SH – высота пирамиды, а=KL=AB – сторона основания пирамиды.

Из уравнения
 
находим
 

Тогда


Поскольку площадь сферы выражается по формуле

, то R=3 см и искомый объём равен 324 см³

Ответ: 324