Решение задачи 28 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Стереометрия. Сечения.
Условие: На рисунках (1-4) изображён куб и три точки, размещённые или в его вершинах, или на серединах его рёбер. Установите соответствие между каждым рисунком (1-4) и наименование фигуры (А-Д), получающейся в сечении.

А. треугольник

Б. прямоугольник

В. трапеция

Г. пятиугольник

Д. ромб
Решение

Приведём построение сечения для каждого из случав:



Отрезок сечения в верхней грани будет параллелен диагонали верхней грани, следовательно, и нижней. Значит, плоскость сечения параллельна диагонали нижней грани. При этом одна точка диагонали нижней грани принадлежит сечению. Следовательно, плоскости сечения будет принадлежать вся диагональ нижней грани. В сечении получится трапеция (В)


Самый простой случай – т.к. в каждой грани по две точки, достаточно их соединить и получить теругольник (А)



Точки нижней грани куба, принадлежащие сечению, находим, продлевая рёбра куба и известные прямые, лежащие в сечении. Т.к. данные нам точки лежат на серединах сторон, то прямая, по которой пересекаются плоскости сечения и нижней грани, пройдёт через вершину куба. Таким образом мы получим четырёхугольник с равными сторонами. Это будет ромб, а не квадрат, т.к. одна его диагональ будет равна диагонали куба, а другая –диагонали грани куба. (Д)


По свойству параллельных плоскостей находим обе прямые, по которым плоскость сечения пересекает вертикальные грани куба, и затем находим прямую, лежащую в верхней грани куба. В сечении – прямоугольник (Б)
Ответы:

1. (В)

2. (А)

3. (Д)

4. (Б)

Решение задачи 27 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Область значений функции.
Условие: Установите соответствие между функциями (1-4) и их множествами значений (А-Д)

1. y=log_2x
2. y=2^x
3.
4.y=2-x²

А.
Б.
В.
Г.
Д.

Решение

1. логарифм может принимать любое значение, следовательно, Д.

2. функция y=2^x может принимать только положительные значения: Г.

3. Корень принимает неотрицательные значения. Умножение на положительный множитель этого не меняет: Б.

4. x² принимает значения из , -x² – из , а 2-x² – из множества В.

Ответы:
1. (Д)
2. (Г)
3. (Б)
4. (В)

Решение задачи 26 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Формулы сокращённого умножения. 

Условие: Установите соответствие между числовыми выражениями (1-4) и их значениями (А-Д)

1. 2003²-1997²
2. 186²-186*132+66²
3. 98²+98*104+52²
4. 47³-47²*51+17²*141-17³

А. 64000
Б. 27000
В. 24000
Г. 22500
Д. 14400

Решение
1. Раскладываем как разность квадратов:
2003²-1997²=(2003-1997)(2003+1997)=6*4000=24000 (В)

2. Это квадрат разности:
186²-186*132+66²=186²-2*66*186+66²=(186-66)²=120²=14400 (Д)

3. Это квадрат суммы
98²+98*104+52²=98²+2*98*52+52²=(98+52)²=150²=22500 (Г)

4. Это выражение представляет собой куб разности
47³-47²*51+17²*141-17³=47³-3*47²*+3*47*17²-17³=(47-17)³=30³=27000 (Б)

Ответы:
1. (В)
2. (Д)
3. (Г)
4. (Б)

Задача 32.4.2 из сборника для ДПА по математике

Для лотереи подготовили 1000 билетов, 15 из которых являются выигрышными. Какая вероятность того, что из трёх наугад выбранных билетов все окажутся выигрышными?


Решение


Вероятность того, что первый билет окажется выигрышным равна . Того, что выигрышным окажется следующий билет равна . И для третьего билета - .
Общая вероятность составит

Задача 70.4.2 из сборника для аттестации (ДПА) по математике

В шахматной секции занимаются 30 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно составить команду из 7 учеников так, чтобы в неё вошли 5 мальчиков и 2 девочки?

Решение
Выбрать 5 мальчиков из 30 можно способами.

Выбрать 2 девочек из 10 можно способами.

Всего способов: 

Задача 15.4.2 из сборника для ДПА по математике

Известно, что число n не кратно трём. Докажите, что n²+8 кратно трём.

Решение

Число n может иметь вид:
n=3k+1
или
n=3k-1

Квадрат его будет равняться:
n=9k²+6k+1

или

n=9k²-6k+1

n²+8 будет равно:

n=9k²+6k+9 =3(3k²+2k+3)

или

n=9k²-6k+9 =3(3k²-2k+3)

и в любом случае будет делиться на 3

Задача 57.2.2 из сборника для аттестации ДПА по математике

Последовательность задана рекуррентно:
a₁=6, a₂=20, a_n+2=6a_n+1-8a_n

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой n-го члена a_n=2ⁿ+4ⁿ

Решение
Воспользуемся методом математической индукции
a₁=2¹+4¹=6
a₂=2²+4²=4+16=20

Пусть для всех n от 1 до k верно a_k=2^k+4^k

Тогда a_k+1=6a_k-8a_k-1=6(2^k+4^k)-8(2^k-1+4^k-1)=6*2^k+6*4^k-8*2^k-1-8*4^k-1=6*2^k+6*4^k-4*2^k-2*4^k=2*2^k+4*4^k=2^k+1+4^k+1

Что и требовалось доказать