Задача 32.4.2 из сборника для ДПА по математике

Для лотереи подготовили 1000 билетов, 15 из которых являются выигрышными. Какая вероятность того, что из трёх наугад выбранных билетов все окажутся выигрышными?


Решение


Вероятность того, что первый билет окажется выигрышным равна . Того, что выигрышным окажется следующий билет равна . И для третьего билета - .
Общая вероятность составит

Задача 70.4.2 из сборника для аттестации (ДПА) по математике

В шахматной секции занимаются 30 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно составить команду из 7 учеников так, чтобы в неё вошли 5 мальчиков и 2 девочки?

Решение
Выбрать 5 мальчиков из 30 можно способами.

Выбрать 2 девочек из 10 можно способами.

Всего способов: 

Задача 15.4.2 из сборника для ДПА по математике

Известно, что число n не кратно трём. Докажите, что n²+8 кратно трём.

Решение

Число n может иметь вид:
n=3k+1
или
n=3k-1

Квадрат его будет равняться:
n=9k²+6k+1

или

n=9k²-6k+1

n²+8 будет равно:

n=9k²+6k+9 =3(3k²+2k+3)

или

n=9k²-6k+9 =3(3k²-2k+3)

и в любом случае будет делиться на 3

Задача 57.2.2 из сборника для аттестации ДПА по математике

Последовательность задана рекуррентно:
a₁=6, a₂=20, a_n+2=6a_n+1-8a_n

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой n-го члена a_n=2ⁿ+4ⁿ

Решение
Воспользуемся методом математической индукции
a₁=2¹+4¹=6
a₂=2²+4²=4+16=20

Пусть для всех n от 1 до k верно a_k=2^k+4^k

Тогда a_k+1=6a_k-8a_k-1=6(2^k+4^k)-8(2^k-1+4^k-1)=6*2^k+6*4^k-8*2^k-1-8*4^k-1=6*2^k+6*4^k-4*2^k-2*4^k=2*2^k+4*4^k=2^k+1+4^k+1

Что и требовалось доказать

Решение задачи 25 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Геометрия.
Условие. Прямые, содержащие стороны правильного пятиугольника ABCDEF пересекаются в точках K, L, M, N, P. Найдите градусную меру угла AKB.




Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
18o	26o	30o	36o	60o

Решение

Угол правильного пятиугольника равен .
Тогда углы KBA и КАВ равны по 180^o-108^o=72^o. Значит угол АКВ равен 180^o-2*72^o=36^o.

Ответ: В 36^o

Решение задачи 24 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Комбинаторика.
Условие. В киоске есть 10 видов поздравительных открыток с Новым годом. Сколько можно составить разных наборов открыток, каждый из которых состоит из трёх открыток разных видов?


Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
30	90	120	240	720

Решение

Поскольку порядок открыток в наборе неважен, то нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 3.




Ответ: В 120

Решение задачи 23 пробного ЗНО по математике 2010

Тема: Стереометрия.
Условие. Объём цилиндра равен 48 см³. Найдите объём конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
6 см3	8 см3	16 см3	24 см3	36 см3

Решение

Сравним формулы объёма цилиндра



И конуса


Видно, что конус того же основания и высоты, что и цилиндр, имеет втрое меньший объём. А т.к. в задаче рассматривается конус с высотой, вдвое меньшей высотой цилиндра, то его объём будет в 6 раз меньше объёма цилиндра и составит 8 см³.

Ответ: Б 8 см³