Решение и ответ к задаче 35 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Уравнения с параметрами. Модули.


Условие. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно 4 корня. Если такого значения не существует, в ответ запишите число 100.

Решение

Построим график функции и рассмотрим, когда он будет иметь ровно 4 точки пересечения с прямой у=а.



Видим, что при a<0 точек пересечения не будет, при a=0 их будет две, затем – четыре, при a=5 точек пересечения будет 6, и при некотором значении a их снова станет четыре. Найти это значение легко, если вспомнить, что данный график был получен из параболы отражением от оси ОY и сгибанием через ось ОХ. И координата вершины параболы перейдёт именно в искомое значение параметра а.





Значит

Ответ: 6,25

Решение и ответ к задаче 34 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Планиметрия.
Условие. Точки K и L – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD (см. рис.). Найдите площадь пятиугольника KBCDL (в см²), если площадь параллелограмма ABCD равна 24 см²

Решение

Площадь треугольника ABD равна половине площади параллелограмма ABCD и составит 12 см². Т.к. KL – средняя линия треугольника ABD, то площадь треугольника AKL в четыре раза меньше, чем площадь ABD  и составит 3 см². Следовательно, площадь пятиугольника KBCDL равна 24-3=21 (см²)

Ответ: 21,

Решение и ответ к задаче 33 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Уравнения: тригонометрические, рациональные, иррациональные.
Условие. Решите уравнение . В ответ запишите количество его корней. Если корней бесконечное множество, запишите число 100.

Решение

Найдём ОДЗ:

27+6x-x²>0

(x-9)(3-x)>0

-3<9
Теперь, учитывая ОДЗ, приравняем к нулю числитель:

2cosx+1=0

2cos x=-1





На промежуток (-3;9) таких корней попадает четыре:



Ответ: 4,

Решение и ответ к задаче 32 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Чётные и нечётные функции.
Условие. Функцию y=x⁴+2x-3, определённую на множестве всех действительных чисел, представьте в виде y=f(x)+g(x), где f(x) – чётная функция, а g(x) – нечётная функция. В ответ запишите значение выражения f(-1)-4g(3).

Решение

Достаточно вспомнить, что степенная функция с чётным показателем степени будет чётной, а с нечётным – нечётной. Так что чётной будет функция f(x)=x⁴-3, а нечётной – функция g(x)=2x.

Тогда f(-1)-4g(3)=1-3-24=-26

Ответ: -26.

Решение и ответ к задаче 31 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Логарифм.
Условие. Вычислите

Решение



Ответ: -48,4

Решение и ответ к задаче 30 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Текстовые задачи. Проценты.
Условие. 4 кг огурцов и 5 кг помидоров стоили 44 гривны. После того, как огурцы подорожали на 50%, а помидоры подешевели на 40%, за 4 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 39 гривен. Найдите начальную стоимость x одного килограмма огурцов и начальную стоимость y одного килограмма помидоров. В ответ запишите сумму x+y (в грн)

Решение

Составим и решим систему уравнений:

4x+5y=44
4*1,5x+5*0,6y=39

4x+5y=44
6x+3y=39

Умножим первое уравнение на 3, второе – на -2 и сложим их.
9y=54
Получаем:

y=6

x=3,5

x+y=9,5
Ответ: 9,5

Решение и ответ к задаче 29 пробного тестирования (ЗНО) по математике 2010

Тема: Производная функции.
Условие. Найдите значение производной функции в точке
Решение

.

.
Ответ: .