Задача 36 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Стереометрия. Пирамида.
Условие Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 60^o . Найдите площадь площадь S сферы, описанной вокруг пирамиды. В ответе запишите значение .
Решение

Изобразим данную пирамиду, вписанную в сферу а также сечение их плоскостью SAC

Поскольку пирамида SABCD – правильная, то AS=SC и SAC – равнобедренный треугольник. А т.к. угол при основании в нём равен 60^o, то он равносторонний и SA=SC=AC. AC – диагональ квадрата со стороной 6, AC=.

Радиус сферы, описанной вокруг пирамиды SABCD равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника SAC и равняется .

Тогда площадь сферы равна S_сф= (см²)
Ответ: 96

Задача 35 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Логарифмические уравнения, модули.


Условие Решите уравнение |3lg x +1| – |lg x – 3| = 2. Если у уравнения один корень, запишите его в ответ, а если их больше – запишите СУММУ всех корней.
Решение

ОДЗ: x > 0. Введём замену lg x = y.

|3y+1|–|y–3| = 2

Рассмотрим промежутки: , ,

а) :

|3y+1|=–3y–1

|y–3| = 3–y
Уравнение принимает вид:

–1-3y+y–3 = 2

2y=–6

y=–3

Тогда x=0,001

б) :

|3y+1|=3y+1

|y–3| = 3–y
Уравнение принимает вид:

3y+1+y–3 = 2

4y=4

y=4

Тогда x=10

в) :

|3y+1|=3y+1

|y–3| = y–3
Уравнение принимает вид:

3y+1–y+3 = 2

2y=–2

y=–1
Но это значение не входит в рассматриваемый промежуток.

Таким образом, корнями уравнения являются числа 10 и 0,001. Их сумма равна 10,001
Ответ: 10,001

Задача 34 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Задачи с параметрами, системы.
Условие Найдите наибольшее значение параметра а, при котором система  имеет единственное решение.
Решение

Первое уравнение системы задаёт окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 9. Второе уравнение задаёт окружность с центром в точке (-2;0) и радиусом а. Изобразим эти окружности

Наибольшее значение а, при котором происходит касание окружностей, равно 11.
Ответ: 11

Задача 33 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема:Площадь криволинейной фигуры.
УсловиеНайдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³, y=8, x=0
Решение
Изобразим искомую область.

Площадь её будет равна интегралу


Ответ: 12

Задача 32 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции.
Условие Найдите наименьшее значение функции y=x³-12x на отрезке [0;3]

Решение
Найдём точки экстремума, приравняв производную к нулю.

y'=3x²-12

y’=0 при x=2 или x=-2. Т.к. рассматриваемому промежутку принадлежит только первое значение, нужно сравнить значения функции y в трёх точках: 0, 2 и 3.

y(0)=0

y(2)=8-24=-16

y(3)=27-24=-3

Наименьшим будет y(2)=-16
Ответ: -16

Задача 31 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Геометрия.

Условие
В прямоугольнике ABCD: АB=6 см, ВС=8 см, K и L – середины сторон ВС и CD соответственно (см. рисунок). Найдите площадь треугольника AKL (в см²).

Решение

Т.к. точки К и L – середины сторон BC и CD, то BK=KC=4 (см), а CL=LD=3 (см). Тогда S_AKL = S_ABCD–S_ABK–S_KCL–S_LDA = 6*8 – 0.5*6*4 – 0.5*4*3 – 0.5*3*8 = 48-12-6-12 = 18 (см²)
Ответ: 18

Задача 30 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Рациональные неравенства.
Решите неравенство . В ответ запишите наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Если такого числа нет, то в ответ запишите число 100

Решение

Разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись теоремой Виета.




Отсюда ОДЗ:
Теперь можно сократить на x+5


Чтобы сохранить знак, умножим на знаменатель в квадрате:

(x+6)(x-2)<0
Воспользуемся методом интервалов

Следовательно,  и наименьшим целым числом, удовлетворяющим неравенство, будет -4

Ответ: -4

Задача 29 из примеров ЗНО 2010 по математике

Тема: Тригонометрия

Найдите значение выражения tga+ctga, если a=15^o




Решение






Здесь полезными будут советы по запоминанию тригонометрических формул.


Ответ: 4

Задача 20.4.2 из сборника для ДПА по математике

Сколько нечётных семизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе цифры были разными?

Решение
Будем формировать число, начиная с последней цифры. Т.к. оно должно быть нечётным, то для последней цифры существует 4 варианта. Для предпоследней цифры (т.к. цифры в числе должны быть различны) есть 6 вариантов, для следующей - 5, потом 4, 3, 2 и первая цифра определится однозначно. Таким образом, всего чисел с требуемым свойством будет 4*6*5*4*3*2*1=2880

Ответ: 2960

Задача 60.3.4 из сборника для ДПА по математике

В треугольнике MNK известно, что MN=NK=25 см, MK=14 см. К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, параллельная основанию МК и пересекает стороны в MN и NK точках F и E соответственно. Найдите площадь треугольника FNE.

Решение

Т.к. треугольник равнобедренный, то MK=2HK и HK=7. Высота NH назходится по теореме Пифагора:

Тогда площадь треугольника MNK равна 168 см². Отрезок DH равен двум радиусам вписанной окружности, 

DH=10,5.

ND=NH-DH=13,5

Значит треугольник NFE подобен треугольнику NMK с коэффициентом . Значит 

Задача 4.4.1 из сборника для ДПА по математике

При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x²-ax+4a = 0 равна 9?

Решение

По теореме Виета, сумма корней уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободном члену.

x₁+x₂ = a
x₁x₂ = 4a

Возводя первое выражение в квадрат, получим:
(x₁+x₂)² = a²
x₁²+2x₁x₂+x₂² = a²
x₁²+8a+x₂² = a²
x₁²+x₂² = a²-8a

Значит, сумма квадратов корней уравнения равна a²-8a. Решим уравнение
a²-8a = 9
a²-8a-9 = 0
a₁ = 9, a₂ = -1.

Если рассматривать и действительные и комплексные корни уравнения, на этом можно было бы остановиться, но нам нужно ещё проверить, будут ли действительные корни у уравнения x²-ax+4a = 0 при таких значениях а.

При a₁ = 9:
x²-9x+36 = 0
D=81-144 < 0 - действительных корней нет

При a₂ = -1:
x²+x-4 = 0
D=1+16 > 0, корни есть

Ответ:
a=-1

Задача 3.4.1 из сборника для ДПА по математике

ДПА (Державна підсумкова атестація) - Государственная итоговая аттестация учеников, заканчивающих 9 класс. Методы решения задач аттестации будут полезны и одиннадцатиклассникам, готовящимся к Независимому внешнему тестированию по полному курсу математики.

Про положительные числа a и b известно, что .
Найдите значение выражения

Решение
Разделим числитель почленно на ab


Сделав подстановку , получим , откуда
t²+t-6=0

Удовлетворяющим условие корнем этого квадратного уравнения будет t=2, значит

Рассмотрим теперь выражение, значение которого нам нужно найти


Ответ:2

Что делать, если забыл математическую формулу? Вывести!

Рекомендуем взять на заметку следующие советы:


Вспомнить всё: Что делать, если забыл формулу? Вывести! Метод восстановления забытых формул, который работает, если вы хотя бы примерно представляете её структуру.
Вспомнить всё 2: тригонометрия: как вывести забытую тригонометрическую формулу.