С Новым Годом!!!

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым Годом!

2010 год для развития проекта «Приглашение в мир математики» оказался очень продуктивным. Общение с вами перешло из переписки по электронной почте в блоги. Там вы почти каждый день можете увидеть новый интересный математический факт, новую задачу и её решение.

В этом году вы начали участвовать в наших математических конкурсах. Прошли три интернет-олимпиады и запущена четвёртая. Кроме того, проводились математические маневры – первый в истории конкурс, в котором сочетаются принципы пошаговой стратегии и олимпиады по математике.

На 2011 год планы не менее смелые. Во-первых, мы будем продолжать готовиться к олимпиаде Кенгуру-2011 и к внешнему оцениванию по математике ЗНО-2011. Кроме того, скоро появятся новые логические флеш-игры. И, разумеется, будут продолжаться математические конкурсы и публикация интересного из мира математики.

Желаем вам в новом году счастья, здоровья и чтобы все задачи решались красиво и легко!

Открыт блог по подготовке к ЗНО-2011 по математике

Блог по подготовке к Внешнему независимому тестированию 2011 года по математике находится по адресу: http://zno2011.blogspot.com/

ЗНО по математике: Afterparty

Итак, всё закончилось. Остаётся дожидаться результатов и делиться впечатлениями :)

Начнём с уравнения:

Здесь идея такая же, что и во вчерашней системе. Правая часть равна нулю, а оба слагаемых левой части всегда неотрицательны. Следовательно, равенство достигается только в случае одновременного равенства нулю подкоренного выражения и подмодульного.

Под корнем будет 0 при x=2 или x=-3,5. Но в первом случае вторым слагаемым будет |0-1|=1, а во втором |1-1|=0. Так что здесь единственный корень х=-3,5

Скоро начинается вторая сессия. Удачи вам!!!

Разбор задач первого дня ЗНО: модули

Тема: уравнения с модулями
Условие
Решите уравнение ||2x-1|-3|=5.

Решение
Раскрываем внешний модуль, уравнение превращается в совокупность:
|2x–1|–3=5
или
|2x–1|–3=–5

Сразу заметим, что второе уравнение совокупности не имеет смысла, т.к. левая часть не может быть меньше –3, а правая часть равна –5.

Преобразуем первое уравнение:
|2x–1|=8

Опять оно превращается в совокупность:
2x–1=8
или
2x–1=–8

Откуда
x=4,5 или x=-3,5

Проверка показывает, что оба этих корня действительно удовлетворяют уравнению.

Ответ: x=4,5 или x=-3,5.
В задании ЗНО требовалось записать произведение корней, так что в поле ответа нужно записать -15,75

Разбор задач первого дня ЗНО: площадь полумесяца

Тема: планиметрия


Условие
Две окружности касаются (см.рис.), при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Найдите площадь затемнённой фигуры, если площадь меньшей окружности равна 64 см²

Решение
Т.к. меньшая окружность проходит через центр большей, то радиус большей окружности вдвое больше радиуса меньшей. Значит площадь большей вчетверо больше площади меньшей.

Выходит, что площадь затемнённой фигуры равна 4*64-64=3*64=192 (см²)

Ответ: 192 см²

Разбор задач первого дня ЗНО: система

Тема: тригонометрия, квадратный трёхчлен
Условие
Решите систему уравнений

Решение
Рассмотрим первое уравнение системы.
Т.к. косинус может принимать значения из промежутка [-1;1], то левая часть может изменяться в пределах [-5; 5]

С другой стороны, справа стоит квадратный трёхчлен. Его наименьшее значение достигается в
 
и будет равно 16-32+21=5.

Значит, т.к. значение левой части не превосходит 5, а значение правой части не может быть меньше 5, то равенство достигается при
  ,
откуда x=4.

Подставив его во второе уравнение, получим y=4-5x=-16

Ответ: x=4; y=-16